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對小學數學課本的冀盼

•馮 振 業 博 士 簡 歷

 

課 本 有 能 有 不 能
教 師 都 清 楚 知 道 , 課 本 只 是 複 雜 的 教 學 舞 臺 上 的 一 個 小 角 色 。 學 習 的 主 角 是 學 生 , 教 師 也 不 過 是 第 一 配 角 而 已 。 然 而 , 人 們 對 此 小 角 色 的 要 求 卻 有 增 無 減 : 有 些 數 學 家 認 為 課 本 的 數 學 表 述 不 夠 精 確 嚴 謹 ; 有 些 教 師 則 埋 怨 課 本 未 能 幫 助 他 們 提 高 學 生 的 解 難 能 力 ; 有 些 人 更 認 為 課 本 不 夠 活 潑 生 動 , 追 不 上 時 下 課 程 改 革 的 大 方 向 。
由 於 課 本 是 預 設 的 材 料 , 本 質 上 很 難 配 合 師 生 高 度 互 動 、 可 測 性 偏 低 的 教 學 軌 道 。 換 言 之 , 要 進 行 這 種 高 水 平 的 教 學 , 必 須 靈 活 運 用 課 本 , 甚 至 補 上 輔 助 教 材 , 絕 無 「 依 書 直 說 」 的 可 能 。 此 外 , 利 用 實 物 示 範 的 效 果 , 往 往 比 利 用 圖 畫 和 影 像 好 ; 口 語 對 話 , 也 比 書 本 上 的 文 字 來 得 生 動 有 趣 。 教 師 拿 些 實 物 , 做 些 動 作 或 手 勢 , 再 輔 以 精 簡 口 語 解 說 , 都 不 是 課 本 可 以 提 供 的 。 儘 管 如 此 , 好 的 課 本 卻 能 使 教 師 和 學 生 更 好 地 發 揮 , 演 活 教 與 學 互 動 的 好 戲 。 下 面 介 紹 一 些 筆 者 評 估 課 本 優 劣 的 取 向 , 供 教 師 參 考 。

算 術 最 難
筆 者 認 為 , 整 數 、 分 數 、 小 數 和 百 分 數 的 概 念 、 運 算 和 應 用 ( 統 稱 算 術 ) 是 小 學 數 學 學 習 的 核 心 。 這 部 分 的 內 容 涉 及 深 刻 的 數 學 原 理 , 課 題 之 間 存 在 微 妙 而 不 容 易 弄 清 的 關 係 , 結 構 性 強 。 只 要 被 某 一 概 念 絆 倒 , 往 後 的 學 習 勢 將 受 到 牽 連 。 好 的 課 本 , 應 在 算 術 部 分 有 清 晰 的 脈 絡 , 前 後 呼 應 。

長 話 短 說 與 短 話 長 說
小 學 生 的 專 注 力 一 般 不 長 , 如 非 必 要 , 解 說 以 精 簡 為 佳 。 例 如 「 先 乘 除 , 後 加 減 」 , 本 質 只 是 一 種 算 式 表 達 的 約 定 , 不 含 特 別 數 學 原 理 , 課 本 實 不 必 虛 耗 篇 幅 , 做 些 似 解 釋 而 非 解 釋 的 動 作 ( 常 見 的 是 由 諸 如 「 買 糖 4包 , 每 包 5元 , 又 買 花 生 6包 , 每 包 7元 , 共 用 去 多 少 元 ? 」 等 處 境 , 引 出 要 先 計 5元 5 4和
7元 5 6, 然 後 才 加 起 來 , 糊 裡 糊 塗 地 推 論 必 須 「 先 乘 除 , 後 加 減 」 ) 。 相 反 地 , 有 些 法 則 卻 有 學 理 支 持 , 能 向 學 生 解 說 , 將 有 助 開 啟 他 們 的 數 學 智 慧 。 例 如 「 四 捨 五 入 」 是 由 取 近 似 值 的 基 本 原 理 , 再 加 上 等 距 時 的 約 定 所 衍 生 的 捨 入 法 則 。 它 只 適 用 於 相 鄰 取 值 點 的 差 為 10的 冪 的 情 況 ( 即 不 適 用 於 諸 如 把 2.3 cm捨 入 至 最 近 的 0.5 cm等 的 情 況 ) , 是 有 局 限 性 的 !

數 學 教 學 的 最 大 挑 戰
很 多 人 視 學 數 的 終 極 目 標 為 學 習 精 煉 的 計 算 方 法 , 因 此 , 會 鄙 視 簡 陋 笨 拙 的 操 作 和 計 算 。 這 想 法 是 愚 不 可 及 的 , 須 知 沒 有 「 笨 」 的 經 歷 , 便 沒 有 追 求 「 精 」 的 動 機 , 也 更 難 理 解 和 欣 賞 「 精 」 的 奧 妙 。 這 種 由 「 笨 」 走 向 「 精 」 的 過 程 , 是 孕 育 數 學 思 想 的 必 經 之 途 , 課 本 的 編 撰 , 應 充 分 照 顧 此 點 。 例 如 教 長 度 不 應 太 早 拿 起 坊 間 文 具 店 有 售 的 厘 米 尺 , 因 為 它 是 量 度 工 具 而 不 是 學 具 , 否 則 便 會 隱 藏 了 由 粗 疏 ( 笨 ) 走 向 周 密 ( 精 ) 的 漸 變 過 程 ; 又 例 如 教 除 數 為 兩 位 數 時 的 試 商 , 應 鼓 勵 學 生 在 寫 長 除 直 式 外 再 寫 算 草 , 把 除 數 乘 以 1至 9表 列 , 如 是 者 試 商 便 變 成 「 按 表 索 數 」 , 再 不 困 難 。 誠 然 , 這 方 法 委 實 煩 ( 笨 ) 得 透 頂 , 然 而 , 當 學 生 心 算 乘 法 有 了 成 就 , 他 ( 她 ) 自 會 簡 化 ( 精 ) 過 來 的 。

一 切 觀 念 由 實 物 操 作 開 始
成 年 人 可 透 過 眼 睛 學 習 , 小 孩 子 則 極 需 運 用 自 己 的 手 指 頭 。 因 此 , 課 本 應 適 當 地 引 用 簡 單 的 生 活 情 境 , 並 在 有 需 要 時 製 造 與 課 題 相 關 的 實 物 操 作 經 驗 , 以 協 助 孩 子 掌 握 抽 象 的 觀 念 。 例 如 , 在 引 入 分 數 時 可 用 「 橙 1個 均 分 給 4人 」 的 生 活 處 境 , 帶 出 純 用 整 數 , 是 無 法 表 示 每 人 分 得 多 少 個 橙 的 , 於 是 有 必 要 找 一 些 可 表 示 不 足 「 1」 的 數 量 的 數 , 這 樣 , 分 數 的 學 習 便 來 得 十 分 自 然 ; 又 如 退 位 減 法 , 為 了 能 令 學 生 領 悟 直 式 的 操 作 , 必 須 提 供 實 物 操 作 和 符 號 操 作 對 照 的 第 一 身 經 驗 ( 如 以 數 粒 解 說 「 退 1作 10」 ) 。

避 重 就 輕
由 於 小 學 學 生 處 於 數 學 學 習 的 初 段 , 很 多 概 念 的 掌 握 既 不 ( 可 能 ) 嚴 謹 , 亦 不 適 宜 過 於 仔 細 。 好 的 課 本 , 自 然 懂 得 避 重 就 輕 , 以 免 造 成 教 學 上 的 混 亂 。 以 「 平 行 線 」 為 例 , 很 多 課 本 過 於 熱 衷 引 用 生 活 情 境 , 連 彎 曲 的 火 車 路 軌 和 天 上 彩 虹 都 拿 來 舉 例 , 還 用 上 「 垂 直 距 離 」 之 類 的 觀 念 試 圖 解 釋 , 結 果 學 生 和 教 師 都 給 弄 至 一 頭 霧 水 。 其 實 在 小 學 , 大 可 局 限 於 只 談 平 行 的 直 線 , 直 觀 地 以 「 兩 線 無 限 延 長 亦 不 相 交 」 作 為 操 作 定 義 即 可 。 又 例 如 在 圖 形 分 類 的 習 題 , 應 注 意 學 生 說 「 等 邊 三 角 形 是 等 腰 三 角 形 、 正 方 形 是 菱 形 」 等 等 均 屬 正 確 , 擬 題 應 避 免 無 謂 的 爭 ` 。

猛 攻 難 點
世 界 各 地 的 研 究 均 顯 示 , 分 數 是 小 學 數 學 的 最 大 難 點 。 優 質 的 課 本 自 然 不 會 對 它 掉 以 輕 心 。 其 中 擴 分 和 約 分 的 原 理 、 帶 分 數 和 假 分 數 的 互 化 、 分 數 乘 除 法 則 的 推 演 , 更 是 數 學 思 維 的 深 刻 體 現 。 如 能 系 統 地 攻 破 , 不 單 有 助 提 升 學 生 的 解 題 能 力 , 更 能 為 往 後 的 學 習 奠 定 穩 固 的 基 礎 。

絕 不 含 糊
力 求 清 楚 準 確 , 是 學 習 數 學 的 基 本 素 質 , 好 的 課 本 自 然 重 視 體 現 這 種 情 操 。 例 如 時 有 聽
聞 的 「 百 分 數 和 百 分 率 有 何 不 同 ? 」 , 便 是 一 些 不 費 氣 力
可 以 弄 清 的 問 題 ; 又 例 如 帶 餘 (7.2?.8 = 1 ?2.4) 和 不 帶 餘 (7.2?.8 = 1.5) 除 法 在 應 用 上 是 有 需 要 區 分 的 , 必 須 清 楚 說 明 。

結 語
說 到 底 , 數 學 學 習 的 成 就 水 平 取 決 於 學 生 的 思 考 素 質 。 課 本 的 角 色 , 就 是 輔 助 教 師 在 這 方 面 下 功 夫 。 因 此 , 刺 激 、 協 助 或 引 導 思 考 的 內 容 應 佔 主 要 篇 幅 。 其 他 討 人 一 時 歡 心 的 花 招 , 只 可 居 於 邊 沿 位 置 , 否 則 只 會 喧 賓 奪 主 , 削 弱 學 習 的 效 果 。

 

 

 

 

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